【Edisi Pendidikan Rakyat】Matematika SMP Kelas Delapan Semester Dua: Menjelajahi Gambar Tali Zhao Shuang: Bukti Cerdik Teorema Pythagoras

Matematikawan Tiongkok kuno Zhao Shuang menciptakan metode pembuktian 'gambar tali' saat memberi catatan pada Buku Zhou Bi Suan Jing. Gambar ini tidak memerlukan penalaran aksioma yang rumit, melainkan menggabungkan keindahan geometri intuitif dengan ketatnya aljabar secara sempurna menggunakan metode pemotongan dan penyambungan luas berdasarkan bentuk. Kita hanya perlu menyiapkan empat segitiga siku-siku kongruen (dengan sisi siku-siku a, b dan sisi miring c), kemudian menyusunnya seperti kincir angin, sehingga secara alami terbentuk lubang persegi di tengah dengan panjang sisi (b - a), sedangkan bagian luar membentuk persegi besar dengan panjang sisi c!

Dari Bentuk ke Aljabar: Menghilangkan Substitusi Kuantitas yang Rumit

Rumus inti teorema Pythagoras mengungkapkan hubungan kuantitas kuadrat dari tiga sisi segitiga siku-siku. Dengan bantuan gambar tali Zhao Shuang, kita dapat dengan mudah membuat persamaan luas dan membuktikan teorema ini secara menyeluruh:

Langkah Pertama: Membuat Persamaan Luas

Amati gambar tali yang telah disusun,Total luas persegi besardapat dihitung dengan dua cara:

Cara pertama: Hitung langsung persegi besar (sisi c), luasnya adalah $c^2$.

Cara kedua: Hitung komponen internal secara terpisah, yaitu luas 4 segitiga siku-siku ditambah luas persegi kecil di tengah.

Langkah Kedua: Ekspansi dan Sederhanakan Aljabar

Berdasarkan cara kedua, tuliskan bentuk aljabar: $4 \times (\frac{1}{2}ab) + (b-a)^2$.

Bentuk kuadrat sempurna: $2ab + (b^2 - 2ab + a^2)$.

Gabungkan suku sejenis dan hilangkan $2ab$ dan $-2ab$, menghasilkan hasil akhir yang sempurna: $a^2 + b^2$.

Dengan demikian, $a^2 + b^2 = c^2$ terbukti!

Variasi Model: Metode Trapesium Presiden Garfield

Tidak hanya itu, pada tahun 1876, Presiden ke-20 Amerika Serikat James Garfield menggunakan logika susunan serupa untuk mengusulkan metode pembuktian trapesium. Ia hanya menggunakan dua segitiga siku-siku kongruen, menyusunnya secara vertikal dengan geseran, lalu menghubungkan titik sudut atas membentuk trapesium siku-siku. Dengan menyamakan rumus luas trapesium $\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$ dengan jumlah luas tiga segitiga dalam (termasuk satu segitiga siku-siku sama kaki), ia berhasil menurunkan $a^2 + b^2 = c^2$ dengan cara yang cerdik.

Penerapan Teorema Pythagoras Secara Langsung dan Terbalik dalam Dunia Nyata

Dalam survei lapangan dan konstruksi nyata, teorema Pythagoras adalah alat ampuh untuk mencari jarak yang tidak diketahui. Misalnya, diketahui panjang sisi kuda-kuda bangunan segitiga sama sisi adalah $6$, insinyur tidak perlu mengukur langsung, cukup membuat garis tinggi untuk membaginya menjadi dua segitiga siku-siku. Dengan rumus $3^2 + \text{tinggi}^2 = 6^2$, tinggi dapat langsung dihitung sebagai $3\sqrt{3}$.

Secara serupa, jika seseorang berjalan ke timur sejauh $80\text{m}$ di tanah datar, lalu belok dan berjalan $60\text{m}$, lalu berjalan lagi $100\text{m}$ dan kembali tepat ke titik awal, karena $80^2 + 60^2 = 100^2$ sesuai sempurna dengan rumus inti (yaitu kelipatan 20 dari triple Pythagoras 3-4-5), maka dapat disimpulkan bahwa belokan pertama pasti membentuk sudut siku-siku $90^\circ$! Ini adalah contoh indah dari penerapan teorema invers Pythagoras dalam penentuan lintasan nyata.

🎯 核心法则：勾股定理

Dalam segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dari dua sisi siku-siku a dan b selalu sama dengan kuadrat sisi miring c. Formula ini merupakan dasar geometri dan aljabar, baik untuk menghitung panjang sisi, jarak antar titik koordinat, maupun menentukan apakah sebuah segitiga memiliki sudut siku-siku.

$a^2 + b^2 = c^2$

PERTANYAAN 1

Seperti tampak pada gambar, pada sistem koordinat kartesius terdapat dua titik $A(5, 0)$ dan $B(0, 4)$. Tentukan jarak garis lurus antara kedua titik tersebut.

$\sqrt{41}$

$41$

$9$

$3$

PERTANYAAN 2

Seperti tampak pada gambar, segitiga sama sisi memiliki panjang sisi $6$. Tentukan: (1) panjang tinggi $AD$; (2) luas segitiga ini.

Tinggi $3\sqrt{3}$, luas $9\sqrt{3}$

Tinggi $3\sqrt{3}$, luas $18\sqrt{3}$

Tinggi $3$, luas $9$

Tinggi $6$, luas $18$

PERTANYAAN 3

Untuk nilai real $x$ apa saja, ekspresi aljabar $\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$ memiliki makna dalam bilangan real?

$x > \frac{1}{2}$

$x \ge \frac{1}{2}$

$x \neq \frac{1}{2}$

$x < \frac{1}{2}$

PERTANYAAN 4

Jika panjang tiga sisi segitiga $a, b, c$ memenuhi $a^2 = c^2 - b^2$, apakah segitiga yang dibentuk oleh tiga ruas garis ini merupakan segitiga siku-siku? Mengapa?

Ya, karena memenuhi teorema invers Pythagoras (bukan karena dua garis sejajar, sudut dalam berseberangan sama besar)

Tidak, jika dua bilangan real sama, maka nilai mutlaknya juga sama

Tidak, sudut yang bersesuaian pada segitiga kongruen adalah sama

Tidak, di dalam sudut, titik yang berjarak sama ke kedua sisi sudut terletak pada garis bagi sudut

PERTANYAAN 5

Xiaoming berjalan ke timur sejauh $80\text{ m}$, lalu berjalan ke arah lain sejauh $60\text{ m}$, kemudian berjalan ke arah ketiga sejauh $100\text{ m}$ dan kembali ke titik awal. Setelah berjalan ke timur sejauh $80\text{ m}$, ke arah mana Xiaoming berjalan?

Selatan atau Utara

Barat atau Timur

Tenggara atau Tenggara

Barat Daya atau Barat Laut

Tantangan: Misteri Trapesium Presiden Garfield

Gunakan Identitas Aljabar dan Metode Potong-Sambung Geometri

Pada tahun 1876, Presiden Amerika Serikat James Garfield mempublikasikan metode pembuktian teorema Pythagoras yang sangat cerdik. Amati gambar geometri di bawah ini: ia menggunakan dua segitiga siku-siku yang identik, menyusunnya secara vertikal dengan geseran, lalu menghubungkan dua titik atas membentuk trapesium siku-siku yang lengkap.

Dalam trapesium siku-siku ini, segitiga berwarna kuning berbentuk apa? Berapa panjang alas dan tingginya?

Pembahasan Lengkap:
Segitiga berwarna kuning adalahsegitiga siku-siku sama kaki.
Karena segitiga biru di bagian bawah dan segitiga biru di atas kiri kongruen (dua sisi siku-siku adalah a dan b), misalkan sudut antara alas adalah $\alpha$ dan $\beta$, kita tahu bahwa $\alpha + \beta = 90^\circ$ dalam segitiga siku-siku.
Sudut lurus (garis lurus) adalah $180^\circ$, kurangi kedua sudut lancip ini, sudut yang tersisa di tengah tepat $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Oleh karena itu, segitiga kuning tidak hanya sama kaki (kedua sisinya adalah sisi miring c), tetapi juga merupakan segitiga siku-siku. Alas dan tingginya keduanya adalah $c$.

Gunakan rumus luas trapesium $S = \frac{1}{2}(\text{atas} + \text{bawah}) \times \text{tinggi}$, tuliskan bentuk aljabar total luas seluruh gambar, lalu jabarkan dan sederhanakan.

Pembahasan Lengkap:
Amati seluruh gambar besar, ini adalah trapesium siku-siku:

Sisi atas: sisi pendek $b$
Sisi bawah: sisi panjang $a$
Tinggi: Tinggi vertikal trapesium adalah jumlah dua ruas garis, yaitu $(a + b)$

Substitusi ke rumus luas trapesium:
$S_{\text{total}} = \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a + b)^2$
Gunakan rumus kuadrat sempurna untuk membuka:
$S_{\text{total}} = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$.

Sekarang, hitung jumlah luas tiga segitiga kecil di dalam, nyatakan kembali total luas, dan buat persamaan dengan hasil dari P2. Bagaimana ini membuktikan teorema Pythagoras?

Pembahasan Lengkap:
Luas trapesium juga bisa dilihat sebagai jumlah luas tiga segitiga di dalam:
$S_{\text{total}} = 2 \times (\text{segitiga siku-siku biru}) + 1 \times (\text{segitiga siku-siku sama kaki kuning})$
$S_{\text{total}} = 2 \times (\frac{1}{2}ab) + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$

Karena dua metode perhitungan luas menggambarkan trapesium yang sama, maka dua persamaan ini pasti sama:
$\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
Kurangi $ab$ dari kedua sisi persamaan:
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}c^2$
Akhirnya, kalikan kedua sisi persamaan dengan 2:
$a^2 + b^2 = c^2$
Presiden Garfield hanya menggunakan dua langkah substitusi kuantitas luas, membuktikan teorema Pythagoras secara bersih dan rapi!